Come realizzare modellini che abbiano una forma simile a quella di una sfera?

Quali programmi si possono adoperare?

Quale geometria è possibile rintracciare alla base delle cupole geodetiche di Fuller?

La risposta a queste domande nei seguenti paragrafi:

- Dal Rettangolo Aureo all’Icosaedro

- Icosaedro: scatola stellare

- Icosidodecaedro: scatola poliedrica

- Verso le Cupole Geodetiche

costruzione del rettangolo aureo

Dal rettangolo aureo all'icosaedro

Il disegno di un RETTANGOLO AUREO si ottiene seguendo le seguenti fasi:

  • si disegna un quadrato ABCD;
  • si trova il punto mediano M del lato DC;
  • si punta il compasso su M con raggio MB;
  • l’intersezione tra l’arco di circonferenza di raggio MB e il prolungamento del lato DC è un vertice del rettangolo aureo.

come realizzare un icosaedro in Google SketchUp dopo aver disegnato rettangoli aurei

A partire dal rettangolo aureo è possibile realizzare un ICOSAEDRO, solido platonico costituito da 20 facce triangolari:

  • si realizzano tre rettangoli aurei;
  • si intersecano i rettangoli aurei in modo perpendicolare;
  • si congiungono i vertici dei rettangoli.

a sinistra: come tracciare gli spigoli dell'icosaedro su tre rettangoli aurei; al centro: un icosaedro; a destra: tre rettangoli aurei perpendicolari tra loro

Icosaedro: scatola stellare

icosaedro disegnato in Google SketchUp, realizzato con geomag, creato sotto forma di scatola in cartoncino

Ho elaborato le immagini al pc con Google SketchUp; per creare un modellino di un icosaedro ho realizzato tre rettangoli aurei in cartoncino, li ho intersecati e ho infine congiunto i loro vertici con stuzzicadenti e colla a caldo.

I modellini realizzati con gli stuzzicadenti e con la Costruzione magnetica Geomag mi hanno consentito di apprezzare il volume dell’icosaedro e di creare altri solidi costituiti da spigoli della stessa lunghezza; manipolando l’icosaedro è possibile notare l’esistenza di una relazione tra pentagoni e triangoli equilateri.

apertura della scatola stellare; modello realizzato in cartoncino e con Geomag

L’uso di questi modellini insieme con l’uso di programmi come Google SketchUp e Autocad mi ha consentito di arrivare alla creazione di una scatola stellare come quella mostrata nell'immagine qui in alto.

Icosidodecaedro: scatola poliedrica

come realizzare un icosidodecaedro a partire da rettangoli aurei perpendicolari

Troncando gli spigoli dell’icosaedro è possibile ottenere un solido somigliante ad un vecchio pallone da calcio in cuoio, un icosaedro tronco.

L’ICOSAEDRO TRONCO è un’approssimazione di una sfera: è costituito da pentagoni (colorati di giallo nell’immagine qui sopra) ed esagoni (colorati in rosso).

Espandendo verso l’esterno la superficie dei pentagoni dell’icosaedro tronco (eseguendo cioè un offset dei pentagoni) è possibile ottenere un altro solido: l’icosidodecaedro.

modello in Google SketchUp di una scatola poliedrica in cartoncino

L’ICOSIDODECAEDRO è costituito da pentagoni e triangoli equilateri; presentando un minor numero di spigoli rispetto all’icosaedro tronco, ho scelto questo solido per la progettazione e realizzazione di una scatola che approssimasse la forma di una sfera.

scatola poliedrica in cartoncino con la forma di un icosidodecaedro

La scatola si apre in due emisferi uguali collegati da una cerniera; un sistema di nastri ne consente la chiusura.

emisfero dell'icosidodecaedro: modello e scatola

Ho adoperato del cartoncino blu di lieve spessore e grammatura: la scatola risulta leggera e nello stesso tempo robusta grazie alla sistemazione di una stella arancione in cartone su ognuno dei due emisferi.

emisfero dell'icosidodecaedro: modello realizzato con geomag; icosidodecaedro e dodecaedro tronco relizzati con Google SketchUp

Realizzare un icosidodecaedro con la Costruzione magnetica Geomag è un po’ più complesso se non si posseggono delle forme che controventino le facce pentagonali: per impedire al modellino di deformarsi ho realizzato su ogni faccia dell’icosidodecaedro piramidi a base pentagonale.

Nell’immagine qui sopra l’uso del colore bianco per i pentagoni e del rosso per il resto della struttura mette in evidenza la differenza tra un icosidodecaedro ed un icosaedro tronco: il numero dei pentagoni è lo stesso in entrambi i solidi mentre il numero dei triangoli equilateri dell’icosidodecaedro coincide con quello degli esagoni dell’icosaedro tronco.

Verso le cupole geodetiche

come ottenere in Google SketchUp un dodecaedro a partire dal disegno di rettangoli aurei perpendicolari

Osservando l’ICOSIDODECAEDRO nell’immagine qui in alto e procedendo con lo sguardo verso sinistra, si nota che espandendo verso l’esterno i pentagoni di colore bianco (eseguendo cioè un offset dei pentagoni) si ottiene dapprima un DODECAEDRO TRONCO e poi un DODECAEDRO.

icosaedro inscritto in un dodecaedro; dodecaedro reticolare e dodecaedro-origami

Si può inscrivere un icosaedro in un dodecaedro (e viceversa): i vertici del primo coincidono con il centro dei pentagoni del secondo.

Con la Costruzione magnetica ho realizzato una sorta di cupola geodetica a partire da un dodecaedro le cui facce sono costituite da piramidi a base pentagonale.
Nella parte destra dell’immagine qui sopra è presente un dodecaedro ottenuto con l’origami dopo aver piegato e giustapposto una serie di elementi modulari.

dal dodecaedro tronco alla cupola geodetica realizzata da Fuller a Spoleto

L’icosaedro tronco sembra comunque essere il solido che consente di approssimare più efficacemente la forma di una sfera con l’uso di pentagoni ed esagoni.
L’immagine qui in alto mostra la struttura alla base della SPOLETOSFERA, cupola geodetica realizzata da R. B. Fuller.
Nel 1967 Richard Buckminster Fuller donò alla città di Spoleto la Spoletosfera, una cupola geodetica costituita da una struttura da lui brevettata nel 1954: un reticolo di aste disposte in modo pentagonale ed esagonale che riproduce una parte di un icosaedro tronco approssimando la forma di una cupola sferica.

Spoletosfera realizzata a partire da un dodecaedro tronco: la cupola di Fuller riprende la geometria della molecola di carbonio C60

Negli anni cinquanta, anticipando di 40 anni l’architetto giapponese Shigeru Ban noto per le sue Paper Tube Structure, Fuller realizzò le Paperboard Domes, cupole geodetiche in cartone destinate a fornire alloggio ai fanti dei Marines.
In onore di Fuller le molecole di carbonio che avevano una forma simile ad una sfera cava vennero chiamate fullereni; la molecola di carbonio C60 che somiglia ad un pallone da calcio (con la struttura di un icosaedro tronco) fu denominata buckminsterfullerene.


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